Vereinfachung der Balkentheorie / Bernoullische Annahmen

Der Bernoulli-Balken ist ein Begriff aus der Balkentheorie, die sich als Teilgebiet der Technischen Mechanik mit dem Verhalten belasteter Balken beschäftigt. Eigentlich geht es hier um die sogenannten bernoullischen Annahmen.
Der Begriff ist abgeleitet von Jakob I. Bernoulli, einem Schweizer Mathematiker und Physiker, der sich unter anderem mit der Berechnung von Tragwerken unter statischer Last beschäftigte. Mit den nach ihm benannten bernoullischen Annahmen war es möglich die bestehende Balkentheorie zu Vereinfachen.
Aufgrund der Verbreitung dieser Biegetheorie ist eben auch häufig vom sogenannten Bernoulli-Balken die Rede.

Die Annahmen

Die bernoullischen Annahmen betreffen den Balken, für den folgende vereinfachende Annahmen getroffen werden:

•    Der Balken ist schlank: Die Länge des Balken ist somit bedeutend größer als sein Querschnitt.
•    Balkenquerschnitte stehen immer senkrecht auf der Balkenachse, auch nach der Deformation der Balkenachse bzw. des Balkens.
•    Querschnitte bleiben eben

Anwendung

Zur Berechnung eines belasteten Balkens werden die folgenden vier Grundgleichungen verwendet:

q – Flächenlast
Q – Querkraft
x – Streckemaß Stab
M – Beigemoment
E – Elastizitätsmodul
I – Flächenträgheitsmoment
ψ – Biegewinkel
ω – Durchbiegung
k – Korrekturfaktor
G – Schubmodul
A – Schubfläche

EI - Biegesteifigkeit
kGA - Schubsteifigkeit

Diese vier Differentialgleichungen für die Schnittgrößen Q und M und die Deformationsgrößen ψ und ω lassen sich vereinfachen, indem angenommen wird, dass die Schubsteifigkeit sehr groß ist.
Aus 4. folgt für kGA → ∞ bei endlicher Querkraft Q:

Die Unterstellung einer sehr hohen Schubsteifigkeit ist also die Basiseigenschaft des Bernoulli-Balkens. Auf dieser Grundlage hatte Bernoulli seine bernoullischen Annahmen hergeleitet.