In den vier vorhergehenden Statik-Aufgaben* gib es um vier verschiedene Spezialfälle für die Berechnung von Schnittreaktionen. Wir hatten in den Aufgaben einen Balken mit Einzellast, einen Balken mit Streckenlast, einen Balken mit einem äußeren Moment und einen abgewinkelten Balken. Im folgenden Statik-Beispiel geht es um einen weiteren Spezialfall: Ein Balkensystem.

Aufgabe 5 - Balkensysteme

Balkensysteme wurden in diesem Statik-Skriptum bereits angeschnitten als es um die Bewertung der Statischen Bestimmtheit ging. In diesem Beispiel geht es um die Ermittlung der Auflagerkräfte und der inneren Kräfte und Momente.

Das in dieser Aufgabe betrachtete statische System ist unten abgebildet.

Balkensystem

Gegeben:

Äußere Kräfte

Gesucht:

Lagerreaktionen, Innere Kräfte im Gelenk G (Zwischenreaktionen)

Lösung der Aufgabe:

Um die Aufgabe* zu lösen, bestimmen wir zuerst, ob das System statisch bestimmt ist. Wie man die statische Bestimmtheit ermittelt, können Sie außerdem  hier nachlesen:
Statische Bestimmtheit ermitteln

Formel: a + z = 3*n

Anzahl der Systeme: 2 => n = 2
Anzahl der Lagerreaktionen: 4 => a = 4
Anzahl der Zwischenreaktionen: 2 => z = 2

a + z = 3*n   =>   4 + 2 = 3*2   =>   6 = 6

=> Das gegebene statische Balken-System ist statisch bestimmt und die Aufgabe kann somit eindeutig gelöst werden.

Freischneiden

Um die Inneren Kräfte freischneiden zu können, erfolgt ein Schnitt am Gelenkt, dass die beiden Balkensysteme miteinander verbindet. Das Gelenk kann fortan als festes Stützgelenk betrachtet werden.
Das geschnittene System ist in der Grafik unten dargestellt.

Schnitt durch Gelenk G und Zwischenreaktionen

Berechnung der Lagerkräfte und Zwischenreaktionen

Wir beginnen damit die Kräfte für System 2 zu berechnen. Berechnet werden die Lagerreaktionen und die Zwischenreaktionen im Gelenk G.

System 2:

∑F_x = 0 = F_Gx - F
=> F_Gx = F

∑M_G = 0 = -F*a + F_B*2*a
=> F_B = 1/2*F

∑M_(B) = 0 = F*a - F_Gy *2*a
=> F_Gy = 1/2*F

System 1:

∑F_x = 0 = F_Ax - F_Gx = F_Ax - F
=> F_Ax = F

∑F_y = 0 = F + F_Gy - F_Ay = 3/2*F - F_Ay
=> F_Ay = 3/2*F

∑M_(A) = 0 = M_A – F*a – F_Gy*2a = M_A - F*a – F*a
=> M_A = F*2a

Somit sind alle Lagerreaktionen und die Zwischenreaktionen im Gelenkt G berechnet. Die Berechnung der Inneren Kräfte in den Stäben würde wie in den vorhergehenden Aufgaben erfolgen und wird hier nicht ausgeführt.