Mechanik - Statik

Dies ist eine Statik-Übungs-Aufgabe zum Thema Freischeiden. Im Bild unten ist das statische System zu sehen und die vorhandenen Kräfte.

In der Aufgabe liegt eine Seilrolle vor, die über einen Stab an der Decke befestigt ist. Die Seilrolle ist drehbar am Stab befestigt und besitzt in diesem Beispiel kein Eigengewicht. Der Stab ist drehbar an der Decke befestigt. Um die Rolle läuft ein Seil an dessen einen Ende eine Masse m befestigt ist. Das andere Ende des Seils wird mit einer Kraft F in einem Winkel α gehalten.

Ziel der Statik-Aufgabe* ist es die Zugkraft F zu ermitteln und den Winkel β zu bestimmen, der sich aufgrund der angreifenden Kräfte einstellt. Außerdem soll in dieser Aufgabe ein Schnitt durch den Stab durchgeführt werden, um die Schnittkräfte F_S zu bestimmen.

Im Bild unten ist das statische System abgebildet. In grün ist bereits die Stelle markiert, an der der Schnitt durchgeführt werden soll.

Statik-Aufgabe Freischneiden

Gegeben:

m = 100kg
α = 30°

Lösung der Aufgabe

Als erstes kann man bei dieser Aufgabe die Haltekraft F bestimmen. Sie ist genauso hoch wie die Gewichtskraft der Masse.

F = FG = m*g = 100kg * 9,81m/s2 = 981N

Freischneiden

Als nächstes kann man nun Freischeiden. Der Schnitt erfolgt durch den Stab. Im Bild unten ist der Schnitt mit allen vorhandenen äußeren und inneren Kräften dargestellt. Dabei wird einmal das System links vom Schnitt und das System rechts vom Schnitt betrachtet.

Schnitt mit äußeren und inneren Kräften

Jedes System befindet sich im Gleichgewicht und somit gilt wie immer, dass die Summe aller Kräfte gleich Null ist.

∑F = 0

Zur Lösung der Aufgabe erstellen wir nun den Lageplan und Kräfteplan für das statische System rechts vom Schnitt. Lageplan und Kräfteplan sind im Bild unten dargestellt.

Zur Erstellung des Lageplans und des Kräfteplans greifen wir auf das Kräfte-Parallelogramm zurück, das bereits in einem vorhergehenden Statik-Skript vorgestellt wurde. Mit Hilfe des Kräfte-Parallelogramms kann die Gesamtkraft ermittelt werden, die sich aus den beiden Kräften F_G und F ergibt.
Damit die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind folgt, dass diese Gesamtkraft der Schnittkraft entspricht.

Die Schnittkraft FS kann nun mit Hilfe der gegebenen Werte berechnet werden. Hierzu ermitteln wir als erstes den Winkel β:

2* β + α = 90°
=> β = (90° - α)/2 = 30°

Da die Kraft F genauso groß ist wie F_G, kann man das Kräfte-Parallelogramm auf ein rechtwinkliges Dreieck reduzieren mit den Kräften F und ½F_S. Die Kräfte stehen im Winkel β = 30° zueinander.
Über den Cosinus kann man nun die Kraft FS errechnen:

cos(β) = (1/2 F_S) / F
=> F_S = 2 * F * cos(β) = 2 * 981N * cos(30°) = 1699,14N

Damit sind alle gesuchten Werte ermittelt und die Statik-Aufgabe* ist gelöst.