Mechanik-Skripte
In diesem Bereich finden Sie Skripte zum Thema Kinematik.
Die Kinematik ist ein Teilgebiet der Mechanik und befasst sich mit der Bewegung von Punkten und Körpern im Raum. Beschrieben wird die Bewegung mittels der Größen Geschwindigkeit, Weg und Beschleunigung. Bei der Kinematik werden die Kräfte, durch die die Bewegung verursacht wird, außer Acht gelassen. Damit ist die Kinematik das Gegenstück zur Dynamik, bei der die entsprechenden Kräfte, unten deren Einwirkung die Körper in Bewegung versetzt werden, mitbetrachtet werden.
Die Kinematik ist die Lehre von der Bewegung der Körper im Raum, bezogen auf ihre Position, der Beschleunigung und der Geschwindigkeit. Die Ursachen für die Bewegung, das heißt, die einwirkenden Kräfte betrachtet die Kinematik nicht (dies geschieht jedoch im Gebiet der Dynamik).
Die Bewegung eines Körpers kann beliebig erfolgen, wobei die geradlinige Bewegung, in der Kinematik auch Translation genannt, die einfachste ist. Krummlinig sind hingegen Kreisbewegungen, auch Rotationen genannt, wobei einzelne Bewegungsabschnitte translatorisch verlaufen können.
Dynamik und Kinematik sind Teilgebiete der Mechanik. Gegenstand der Dynamik ist die Bewegung von Körpern unter Betrachtung aller auf sie einwirkenden Kräfte. Dies unterschiedet die Dynamik im Wesentlichen von der Kinematik.
Typisches Beispiel der Kinematik
Das Kind wirft einen Ball: Kinetisch betrachtet, geht der translatorische (geradlinige) Abwurf in eine krummlinige Bewegung über. Ähnlich, lediglich umgekehrt, verhält sich ein Fahrzeug, welches auf der Autobahn zunächst geradeaus fährt, um dann eine kreisförmige Ausfahrt zu nehmen.
In der Kinetik wird davon ausgegangen, dass die Bewegung in der Regel durch sogenannte Zwangsbedingungen eingeschränkt ist, wodurch sich die Anzahl der Freiheitsgrade des betrachteten Körpers reduziert.
Typisches Beispiel für Zwangsbedingungen
Bei einem Pendel ist der mögliche Weg, den der Körper zurücklegen kann, durch die Länge des Fadens begrenzt.
Die Bewegungsgrößen Position, Beschleunigung und Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung entsprechen bei der krummlinigen Bewegung den Größen Winkel, Winkelbeschleunigung und Winkelgeschwindigkeit. Zur Vereinfachung von Berechnungen werden die Bewegungen in der Kinematik oft voneinander getrennt. Das bedeutet: Translation und Rotation werden getrennt voneinander betrachtet.
Betrachtung des Massepunktes
Mit dem Massepunkt bedient sich die Kinematik eines vereinfachten Modells zur Beschreibung der Körperbewegung. Seine Position wird über drei Koordinaten im dreidimensionalen Raum definiert. Um einen starren Körper eindeutig im Raum zu beschreiben, genügen drei weitere Freiheitsgrade. Der Massepunkt lässt sich mit folgender Formel definieren:
Geschwindikgiet:
Beschleunigung:
v(t) - Geschwindigkeit
r(t) - Bahnkurve
a(t) - Beschleunigung
t - Zeit
Sofern die kinematische Bewegung eingeschränkt ist, gilt unter Hinzunahme des Vektors q(t) folgende Formel für die Bahnkurve:
Durch Ableitung des Ortsvektors ergibt sich die Formel für die Geschwindigkeit des Massepunktes:
Mit folgender Ableitung ermittelt die Kinematik die Beschleunigung:
Sofern Bewegungsgleichungen aufgestellt werden müssen, wie es beispielsweise das d'Alembertschen Prinzip verlangt, wird zusätzlich zu den kinematischen Bindungen die entsprechende virtuelle Verschiebung benötigt:
Praktischer Nutzen der Bewegungsgleichungen
Bei Systemen, die aus mehreren Körpern bestehen, ist es Aufgabe der Kinematik, räumliche Mechanismen und Abhängigkeiten zu untersuchen. Beispiele hierfür sind Roboter oder Radaufhängungen an Automobilen. Diese Mechanismen bestehen häufig aus mehreren, miteinander agierenden Verbindungen und Gelenken. Mithilfe von Methoden der Kinematik sind Wissenschaftler in der Lage, die Anzahl sämtlicher Freiheitsgrade, die Position der einzelnen Körper oder des gesamten Systems, die jeweilige Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zu ermitteln.
In diesem Kinematik-Skript sollen die Grundlagen der Bewegung beschrieben werden und was man darunter im Bereich der Physik versteht. Es werden hier auch die verschiedenen Arten der Bewegung vorgestellt und wichtige Schlüsselbegriffe wie die Raumkurve oder der Massepunkt erläutert.
Bewegung
Die Ortsveränderung eines Körpers in Relation zu einem in Ruhe befindlichen Körper beziehungsweise zum Standpunkt des Beobachters entspricht einer Bewegung im Sinne der Physik.
Raumkurve im Koordinatensystem
Es gibt viele Formen der Bewegung, beispielsweise kreisförmige Bewegung und geradlinige Bewegung. Demnach wird zur physikalischen Beschreibung der jeweiligen Bewegung ein dementsprechend geeignetes Koordinatensystem gewählt. Der als ruhend angenommene Beobachter steht dabei meist im Ursprung des Koordinatensystems, während der beobachtete Körper eine drei-, zwei- oder eindimensionale Raumkurve (Trajektorie) bezüglich dieses Ursprungs durchläuft.
Massepunkt / Punktmasse
Die physikalische Beschreibung einer Bewegung wird in vielen Fällen einfacher für Sie, wenn Sie sich den beobachteten Körper als einen einzelnen Punkt im entsprechenden Koordinatensystem vorstellen. Dieser Punkt wird so behandelt, als würde er die gesamte Masse des Körpers besitzen. Dabei wird der Schwerpunkt des Körpers als sogenannter "Massenpunkt" (häufig auch als "Punktmasse") ausgewählt.
Zwei Fachgebiete der Physik befassen sich mit der Bewegung:
Die Kinematik ist die Lehre der Beschreibung von Bewegungen. Die Dynamik stellt in der Technischen Mechanik die Kinetik dar, die eine Lehre der Ursachen von Bewegungen ist. Dabei steht die Kinetik im Gegensatz zur Statik, welche sich nur mit ruhenden Systemen auseinandersetzt.
Die Relativität der Bewegung
Die Beschreibung einer Bewegung eines beobachteten Objektes hängt immer vom Beobachter ab. Beispielsweise scheint sich eine Person auf dem Beifahrersitz eines fahrenden Autos aus der Perspektive eines Passanten am Fahrbahnrand zu bewegen, während sie aus der Perspektive des Autofahrers zu ruhen scheint.
Spezielle Formen & Arten der Bewegung einzelner Objekte
Die geradlinig gleichförmige Bewegung:
Eine geradlinig gleichförmige Bewegung liegt vor, wenn die Bahnkurve einen Geradenabschnitt darstellt, während die Geschwindigkeit an jedem Punkt entlang der Bahnkurve gleich ist und die Beschleunigung überall Null.
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung sind die Richtung sowie der Betrag der Beschleunigung an jedem Punkt der Bahnkurve gleich. Dabei kann die Bahnkurve eine Gerade oder eine Parabel sein.
Periodische Bewegung:
Wenn das Beobachtungsobjekt nach einer gewissen Zeit (Periodendauer) wieder an den Ausgangsort zurückkehrt und dabei die gleiche Geschwindigkeit und gleiche Richtung besitzt, dann handelt es sich um eine periodische Bewegung. Solche Bewegungen haben immer geschlossene Bahnkurven. Ein Spezialfall der periodischen Bewegung ist beispielsweise die Kreisbewegung.
Kreisbewegung:
Die Kreisbewegung bildet eine kreisförmige Bahnkurve ab. Dabei bildet der Geschwindigkeitsvektor zu jedem Zeitpunkt einen rechten Winkel mit dem Radius. Daher weist dieser Vektor eine tangentiale Richtung auf. Um eine gleichförmige Kreisbewegung handelt es sich immer, wenn bei der Kreisbewegung der Betrag der Geschwindigkeit durchgehend konstant ist. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist die Normalbeschleunigung immer zum Kreismittelpunkt gerichtet und die Tangentialbeschleunigung gleich Null.
Harmonische Schwingung:
Die harmonische Schwingung ist ebenso eine periodische Bewegung. Die Veränderung des Ortes mit der Zeit folgt bei einer periodischen Bewegung immer einer Sinusfunktion.
Jedes Objekt, das geringfügig aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt wird, schwingt im Allgemeinen harmonisch. Jede periodische Bewegung lässt sich anhand der Fourieranalyse als Summe harmonischer Schwingungen darstellen. Die Frequenzen dieser einzelnen Schwingungen sind Vielfache der Grundfrequenz. Diese Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer. Ein klassisches Beispiel ist das Federpendel, mit dem unter anderem in der Physik und Kinetik harmonische Schwingungen beschrieben und veranschaulicht werden.
Eine gleichförmige Bewegung, häufig als gleichförmige geradlinige Bewegung oder gleichförmige Translation bezeichnet, ist eine Bewegung ohne Richtungsänderung und mit konstanter Geschwindigkeit. Einem Körper, der in Ruhe verharrt, wird laut dieser Definition eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit v=0 zugesprochen.
Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe. Deshalb ändert sich bei einer konstanten Geschwindigkeit weder die Bewegungsrichtung noch der Betrag. Um den Unterschied zwischen gleichförmiger Bewegung und gleichförmiger Kreisbewegung zu verdeutlichen wird die gleichförmige Bewegung auch als geradlinige gleichförmige Bewegung bezeichnet. Denn bei der gleichförmigen Kreisbewegung bleibt nur der Betrag der Geschwindigkeit konstant, während sich die Bewegungsrichtung ändert. Die gleichförmige Bewegung gilt damit als ein Spezialfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit einer Beschleunigung gleich Null.
Eigenschaften der gleichförmigen Bewegung:
- Die Geschwindigkeit des Objektes ist während der gesamten Bewegung konstant (v=konstant).
- Die Beschleunigung des Objektes ist während der gesamten Bewegung null (a=0). Das bedeutet, das Objekt wird weder schneller noch abgebremst.
Beispiel:
Sie fahren beispielsweise 80 km/h mit Ihrem Auto auf einer Straße. Solange Sie auch wirklich die 80 km/h fahren, ist diese Bewegung eine gleichförmige Bewegung. Sofern Sie abbremsen oder schneller werden, ist diese Bewegung keine gleichförmige Bewegung mehr.
Zusammenhang zwischen Weg, Zeit, Geschwindigkeit und die Berechnung der gleichförmigen Bewegung
Für die im Zeitraum Δt zurückgelegte Strecke Δs gilt für die gleichförmige Bewegung, dass die Geschwindigkeit v=Δs/Δt immer konstant ist. Das bedeutet, der zurückgelegte Weg Δs ist immer proportional zur dafür benötigten Zeit Δt (Δs~Δt). Damit können wir die gleichförmige Bewegung berechnen. Der Proportionalitätsfaktor in dieser Berechnung ist die Geschwindigkeit v.
Für die Berechnung der gleichförmigen Bewegung wird immer Δt=t1-t0 eingesetzt.
Gleichförmige Bewegung berechnen
Wollen wir die gleichförmige Bewegung berechnen, setzen wir die Geschwindigkeit v, die Strecke s, die Zeit t und den Anfangsweg s0 in Relation zueinander:
Berechnung der Strecke mit Anfangsweg:
s - Strecke in Meter [m]
s0 – Anfangsweg [m]
v - Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde [m/s]
t - Zeit in Sekunden [s]
Vereinfachte Formel gleichförmige Bewegung:
s - Strecke in Meter [m]
v - Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde [m/s]
t - Zeit in Sekunden [s]
In diesem Kinematik-Skript wird beschrieben, was man in der Physik unter dem Begriff Beschleunigung versteht. Vor allem für die Bereiche Kinematik und Kinetik ist die Beschleunigung eine der elementarsten Größen und daher von besonderer Wichtigkeit.
Was ist eine Beschleunigung?
Innerhalb der Physik wird unter Beschleunigung die momentane zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit eines Körpers oder Teilchens verstanden. Die Beschleunigung ist eine gerichtete Größe und damit vektoriell. Sie nimmt eine zentrale Rolle bei der Beschreibung von Bewegungsvorgängen ein und ist vor allem für deren Zusammenhang mit Kräften von großer Bedeutung. Denn bei allen realen Bewegungsvorgängen treten Beschleunigungen auf, wie zum Beispiel bei Aufzügen, Flugzeugen und Fahrzeugen. Dabei haben sie aufgrund der Trägheitskräfte, die in diesem Zusammenhang auftreten, eine Auswirkung auf die Gegenstände und Menschen, die währenddessen befördert werden.
Auch wenn umgangssprachlich häufig nur eine Geschwindigkeitszunahme als Beschleunigung angesehen wird, so ist im Sinne der Physik jede Änderung einer Bewegung auch eine Beschleunigung. Damit sind auch die Richtungsänderung bei gleichbleibendem Geschwindigkeitsbetrag bei einer Kurvenfahrt und die Abnahme der Geschwindigkeit wie beispielsweise während des Bremsvorgangs Beschleunigungen.
Maßeinheit der Beschleunigung
Die Maßeinheit der Beschleunigung ist standardmäßig die Länge geteilt durch (Zeit)². Die dafür entsprechende SI-Einheit lautet Meter pro Quadratsekunde (m/s²). Würden wir zum Beispiel sagen, dass ein Körper mit einer konstanten Beschleunigung von 4 m/s² aus der Ruhelage heraus beschleunigt wird, dann bedeutet das, dass er sich nach 1 s mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s bewegt, nach 2 s mit 8 m/s und so weiter.
Erdbeschleunigung
Die Angaben von Belastungsgrenzen oder Belastungen technischer Geräte können als sogenannte g-Kraft erfolgen. Diese Kraft pro Masse wird innerhalb der Physik als Vielfaches der Normfallbeschleunigung (normale Erdbeschleunigung g = 9,80665 m/s²) angegeben.
Gewichtskraft auf einen Körper mit der Masse m
Innerhalb der Geowissenschaften wird hingegen die normale Erdbeschleunigung mit der Einheit Gal versehen. Diese Einheit wurde nach Galileo Galilei benannt. 1 Gal = 0,01 m /s². Das bedeutet, die durchschnittliche Beschleunigung der Erde beträgt ca. 1000 Gal.
Beispiele – Die Erdbeschleunigung berechnen:
Zur Veranschaulichung wollen wir nun versuchen die Erdbeschleunigung einer Masse zu berechnen. In diesem Beispiel liegt ein Körper mit einer Masse von 1 kg vor. Dieser besitzt auf der Erde eine Gewichtskraft von:
Analog hierzu besitzt ein Körper mit der Masse von 50 kg auf der Erde eine Gewichtskraft von:
In diesem Kapitel behandeln wir die gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Selbstverständlich erklären wir Ihnen auch die benötigten Formeln dazu und zeigen an Rechenbeispielen, wie Sie ganz einfach die Beschleunigung berechnen können.
Begriffsdefinition der Beschleunigung
Die Beschleunigung ist eine vektorielle (gerichtete) Größe und stellt die momentane, zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit pro Zeitintervall dar. Außerdem spielt sie eine zentrale Rolle bei der Beschreibung von Bewegungsvorgängen und deren Zusammenhang mit Kräften.
Berechnung der Beschleunigung
Am einfachsten können Sie die geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung berechnen. Dafür müssen die Geschwindigkeit v(t1) zum Zeitpunkt t1 (Startgeschwindigkeit) und die Geschwindigkeit v(t2) zum Zeitpunkt t2 (Endgeschwindigkeit) bekannt sein. Aus der Differenz dieser beiden Geschwindigkeiten Δv = v(t2) - v(t1) lässt sich die Beschleunigung innerhalb der Zeitspanne Δt = t2 - t1 gemäß folgender Formel berechnen:
a - Beschleunigung in Meter pro Sekunde-Quadrat [m/s2]
t - Zeit in Sekunden [s]
v - Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde [m/s]
Wenn die Endgeschwindigkeit v(t2) geringer ist als die Startgeschwindigkeit v(t1), dann wird die berechnete Beschleunigung negativ. Es handelt sich somit um eine Verzögerung – also wie z.B. bei einem Bremsvorgang.
Formel der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz ):
s - Strecke in Meter [m]
a - Beschleunigung in Meter pro Sekunde-Quadrat [m/s2]
t - Zeit in Sekunden [s]
v0 - Anfangsgeschwindigkeit in Meter pro Sekunde [m/s]
s0 - Anfangsweg [m]
Wenn die Bewegung vom Anfangspunkt aus und aus dem Stillstand beginnt, vereinfacht sich die Formel zu:
Formel der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz):
v - Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde [m/s]
a - Beschleunigung in Meter pro Sekunde-Quadrat [m/s2]
t - Zeit in Sekunden [s]
v0 - Anfangsgeschwindigkeit in Meter pro Sekunde [m/s]
Die Formel vereinfacht sich, wenn die Bewegung ohne Startgeschwindigkeit beginnt:
Rechenbeispiel zur Messung der Beschleunigung über die Geschwindigkeit
Beispiel für die Berechnung zur Messung über die Geschwindigkeit: Ein Auto bewegt sich zum Zeitpunkt t1=0s im Vergleich zur Straße mit einer Geschwindigkeit von v1=20m/s. Umgerechnet sind das 72 km/h. Zum Zeitpunkt t2=15s, also 15 s später, besitzt das Fahrzeug eine Geschwindigkeit von v2=40m/s. Umgerechnet sind dies 144 km/h. Die durchschnittliche Beschleunigung des Autos können Sie dann wie folgt berechnen:
Der berechnete Wert gibt an, dass die Geschwindigkeit des Autos je Sekunde um 1,33m/s zunimmt – also ist a=1,33m/s2. Umgerechnet sind das dann 4,68 km/h, die das Fahrzeug je Sekunde schneller fährt.