Mechanik-Skripte
In diesem Bereich finden Sie Skripte zum Thema Kinetik.
Die Kinetik ist ein Teilgebiet der Mechanik und befasst sich mit der Bewegung von Punkten und Körpern im Raum unter Einfluss von Kräften. Zusammen mit der Statik gehört die Kinetik zum Gebiet der Dynamik. Im Gegensatz zur Kinetik beschäftigt sich die Statik mit dem Kräftegleichgewicht von Körpern, die nicht beschleunigt oder bewegt werden.
Die Kinetik, abgeleitet aus dem griechischen Wort kinesis für Bewegung, stellt ein Teilgebiet der Mechanik dar. Sie beschreibt, wie sich Bewegungsgrößen, also Weg, Beschleunigung und Geschwindigkeit, unter der Einwirkung von Kräften im Raum verändern.
Das Pendant zur Kinetik ist die Statik: Ihr Gebiet ist das Kräftegleichgewicht nicht beschleunigter Körper. Gemeinsam bilden Kinetik und Statik die Dynamik, jene Disziplin, die die Wirkung von Kräften erforscht. Diese Nomenklatur wird hauptsächlich in der Technischen Mechanik benutzt. Die Physik hingegen verwendet meist den Begriff Dynamik anstelle von Kinetik. Als Kinetik wird mitunter fälschlicherweise auch die geometrische Beschreibung der Bewegung bezeichnet. Dieses Verfahren heißt jedoch Kinematik.
Die Kinetik unterscheidet zwischen zwei Bewegungsdynamiken: Es gibt die Dynamik der fortschreitenden Bewegung (Translation) und die Dynamik der Drehbewegung (Rotation).
Die Grundlagen der Kinetik sind von Galilei und Newton erarbeitet worden. 1638 formulierte Galilei das Trägheitsgesetz. Newtons Grundgesetze, die Quintessenz seines Nachdenkens über Physik, stammen aus dem Jahr 1687. Mit ihnen liegt die wissenschaftliche Begründung der Kinetik vor.
Wichtige Sätze der Kinetik
Die Bewegungsgleichung lässt sich über die Sätze der Kinetik aufstellen. Dies geschieht abhängig von den frei wählbaren verallgemeinerten Koordinaten.
Schwerpunktsatz/Impulssatz
Das Grundgesetz der Dynamik gehört zu den allgemein bekanntesten Sätzen der Dynamik. Es wird auch Schwerpunktsatz oder Impulssatz genannt.
F – Kraft [N]
a – Beschleunigung [m/s2]
m – Masse [kg]
F steht für Kraft, m für Masse, a für Beschleunigung. Diese Gleichung kann nur aufgestellt werden, wenn die Masse m zeitlich konstant ist. Wenn eine zeitlich veränderliche Masse vorliegt, wird die Kraft nach der Zeit definiert, und zwar als Ableitung des Impulses p = m•v :
v – Geschwindigkeit [m/s]
p – Impuls [Ns]
m – Masse [kg]
t – Zeit [s]
Leistungssatz
Auch nicht-konservative Systeme, die einen Freiheitsgrad besitzen, lassen sich mit dem Leistungssatz der Mechanik beschreiben.
E – Energie [J] bzw. [Nm]
t – Zeit [s]
P – Leistung [W] bzw. [Nm/s]
Die Leistung einer Kraft
Die Definition der Leistung einer (vektoriellen) Kraft F lautet folgendermaßen:
P – Leistung [W] bzw. [Nm/s]
F – Kraft [N]
v – Geschwindigkeit [m/s]
Die Leistung eines Momentes
Ein (vektorieller) Moment ergibt sich in seiner Leistung als
P – Leistung [W] bzw. [Nm/s]
M – Moment [Nm]
ω – Winkelgeschwindigkeit [rad/s]
Energiesatz
Aus dem Leistungssatz für konservative Systeme lässt sich der Energiesatz der Mechanik als Spezialfall ableiten.
Ekin – kinetische Energie [J] bzw. [Nm]
Epot – potentielle Energie [J] bzw. [Nm]
t – Zeit [s]
Arbeitssatz
Die vierte Möglichkeit zur Ermittlung der Bewegungsgleichung eines dynamischen Systems wird durch den Arbeitssatz formuliert.
W – Arbeit [J] bzw. [Nm]
F – Kraft [N]
s – Weg [m]
Der Terminus "Dynamik" leitet sich vom griechischen Begriff "dynamis" ab, bedeutet wörtlich übersetzt "Kraft". Die Dynamik bezeichnet das Teilgebiet der Mechanik, welches sich mit der Wirkung von Kräften beschäftigt.
Im Teilbereich der Technischen Mechanik wird die Dynamik abermals unterteilt in die Statik und die Kinetik. Während die Statik das Kräftegleichgewicht unbeschleunigter Körper untersucht, befasst sich die Kinetik mit dem Zusammenhang zwischen Kräften und Bewegungen.
Im Allgemeinen ist diese Unterscheidung in der Physik selbst jedoch unüblich. Vielmehr versteht man unter Dynamik im Allgemeinen physikalischen Sinne das Zeitverhalten eines Systems sowie die zu dessen Beschreibung herangezogenen Bewegungsgleichungen. Im speziellen Sinne wird unter dem Terminus Dynamik die Erklärung der Bewegung von Körpern unter dem Einfluss von Kräften subsumiert.
Im Rahmen der Ingenieurswissenschaften wird unter dem Teilgebiet der Technischen Dynamik letztlich die Dynamik von Festkörpern im Gegensatz zur Dynamik von Fluiden verstanden. Entsprechend kennt die Technische Dynamik in umfassender Bedeutung folgende Teilbereiche:
- Maschinendynamik
- Baudynamik
- Fahrzeugdynamik
- Rotordynamik
- Roboterdynamik
- Satellitendynamik
Maschinendynamik
Das Studienfach und Forschungsgebiet Maschinendynamik basiert auf den Grundlagen der Technischen Mechanik* und analysiert die Wechselwirkungen zwischen dynamischen Kräften und Bewegungsgrößen innerhalb von Maschinen. Angrenzende Gebiete mit denen die Maschinendynamik durchaus Schnittmengen aufweist, sind die Fahrdynamik, die Messtechnik, die Antriebstechnik, die Mechatronik und die Vibrationstechnik. Als eines der Kernfächer des Maschinenbaus zählt die Maschinendynamik zum Fächerkanon der Ingenieurswissenschaften.
Baudynamik
Die Berechnung und die Beurteilung dynamisch belasteter Bauwerke werden im Rahmen der Baudynamik vollzogen. Anders als im Teilgebiet der Baustatik findet im Teilbereich der Baudynamik die Dimension der Zeit beziehungsweise der Frequenz Berücksichtigung. Die Baudynamik muss im Bausektor prinzipiell immer dann beachtet werden, wenn zeitlich veränderliche Kräfte auf ein Bauwerk einwirken, wobei das Bauwerk gleichzeitig bedingt durch seine Konstruktion die Möglichkeit aufweist, auf diese Einwirkungen zu reagieren, d.h. zu schwingen. Dabei werden die einwirkenden Kräfte in direkt auf ein Bauwerk wirkende (Kraftanregung) und indirekt über den Untergrund auf ein Bauwerk einwirkende (Lastfall der "Fußpunktanregung") Kräfte unterschieden.
Fahrdynamik
Die Fahrdynamik befasst sich als Spezialgebiet der Dynamik mit der Bewegung von Landfahrzeugen, d.h. Ketten-, Schienen- und Radfahrzeugen. Dabei basiert die Fahrdynamik einerseits auf versuchsmäßig gefundenen Abhängigkeiten und andererseits auf den Gesetzen der Technischen Dynamik.
Im Allgemeinen werden im Rahmen der Fahrdynamit Analysen zu Zeit, Geschwindigkeit, Weg, Beschleunigung, Energieaufwand, Leistungen, Antriebskräften, Motorerwärmung und Bewegungswiderständen durchgeführt. Bei der Untersuchung von schienengebundenen Fahrzeugen gehört zum Teilgebiet der Fahrdynamik auch das Ermitteln der zu befördernden Anhängelasten und der Wirkungsgrade von Fahrzeugen.
Die Fahrdynamik fußt auf physikalischen, mathematischen, statistischen sowie technischen Grundlagen und bildet wiederum die Basis für anschließende bautechnische, maschinentechnische sowie wirtschaftliche und betriebliche Untersuchungen.
Die Kraft ist eins der zentralen Phänomene der Physik. Ihre Klassische Definition bezieht sich auf die Beschleunigung, die ein beweglicher Körper durch ihre Einwirkung erfährt. Neben der Beschleunigung bewirken Kräfte auch Verformungen an Körpern, auf die sie einwirken.
Mathematisch gesehen sind Kräfte Vektoren. Das heißt, sie haben einen Betrag und eine Richtung. Eine Kraft, die in ihrer Wirkrichtung die Bewegung eines Körpers verursacht, leistet Arbeit.
Zusammenhang zwischen Kraft und Energie
Für das Aufbringen solcher Kräfte ist daher Energie notwendig, die dem beschleunigten oder deformierten Körper zugeführt wird. Zum Beispiel können Sie eine Feder durch eine Kraft zusammendrücken, wobei sie Energie aufnimmt, die sie beim Nachlassen der Kraft wieder frei gibt. Diese Kraft trägt, wie eine Reihe weiterer spezifischer Kräfte, einen speziellen Namen in der Physik: Die Federkraft bzw. Spannkraft.
Nicht alle Kräfte sind allerdings mit einem Energieaustausch verbunden. Kräfte die keine Arbeit leisten sind zum Beispiel Haltekräfte, die ein Bewegung verhindern, aber auch Führungskräfte, weil bei ihnen die Kraftrichtung senkrecht zur Bewegungsrichtung liegt. Aus diesem Grund werden Brücken in der Regel zumindest einseitig auf Rollen gelagert, denn an einem solchen Loslager treten, unter Vernachlässigung der Reibung, ausschließlich Führungskräfte auf.
Die Einheit der Kraft
Das internationale Einheitensystem misst die Kraft in Newton, das ist eine zusammengesetzte Einheit aus den Basiseinheiten Kilogramm, Meter und Sekunde. Die Definition lautet:
In Formeln werden Kräfte meist mit einem großen F notiert, beispielsweise:
F - Beschleunigungskraft [N]
m - Masse [kg]
a - Beschleunigung [m/s2]
Wirkung einer Kraft
Die Wirkung einer Kraft kann unterschiedlich in Erscheinung treten:
- Eine Kraft kann die Bewegungsrichtung eines Körpers ändern
- Eine Kraft kann die Geschwindigkeit eines Körpers ändern
- Kräfte können andere Objekte zum Beispiel beim Aufschlag verformen
- Eine Kraft wirkt in eine bestimmte Richtung (Stichwort: Vektor)
Arten von Kräften
- Gewichtskraft
- Reibungskraft
- Beschleunigungskraft
- Hangabtriebskraft
- Federkraft / Spannkraft
- Radialkraft (Zentralkraft)
Die Geschichte der Kraft als physikalischer Einheit
Den modernen Kraftbegriff der Physik führte der Engländer Sir Isaac Newton im 17. Jahrhundert mit seinen drei Bewegungsgesetzen ein. Er erkannte die Kraft als Ursache für die Änderung des Bewegungszustands eines Körpers, was sich in seiner Definition der Kraft als Änderung des Impulses über der Zeit widerspiegelt. Ebenfalls auf Newton geht die bedeutsame Erkenntnis zurück. dass jede Kraft, die ein Körper auf einen anderen ausübt, eine gleich große, aber entgegengesetzte Gegenkraft verursacht. Dies ist eine Grundlage der Statik, die Belastungen in Tragwerken über das Gleichgewicht der angreifenden Kräfte berechnet.
Das Kräftegleichgewicht
Für die Betrachtung des Gleichgewichts von Kräften ist ihre Vektoreigenschaft von Bedeutung. Ein Kräftegleichgewicht liegt vor, wenn die Vektorsumme aller äußeren Kräfte an einem Körper Null ist.
∑Fi = 0 Die Summe aller Kräfte ergibt Null
In einem zweidimensionalen Modell können Sie sich dies veranschaulichen, indem Sie die Kräfte als Pfeile eintragen, deren Länge dem Betrag der Kraft entspricht. Wenn Sie diese Pfeile so aneinander fügen, dass jeweils ein Pfeilende an der Spitze eines anderen zu liegen kommt, ergibt sich bei einem Kräftegleichgewicht ein geschlossener Polygonzug.
Kräfte an einem Punkt (links) werden zu einem Polygonzug zusammengeführt (rechts) => Kräftegleichgewicht
Im Kräftegleichgewicht ändert ein Körper seinen Bewegungszustand nicht, das heißt, er ist in Ruhe oder bewegt sich mit unveränderter Geschwindigkeit und Richtung fort. Der Bewegungszustand ändert sich auch bei einer Kreisbewegung mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit nicht, obwohl sie eine gleichförmig beschleunigte Bewegung darstellt. Aber auch bei der Rotation wirkt die Zentripetalkraft, die den Körper in die Kreisbahn zwingt, immer senkrecht zur Bewegungsrichtung.
Die Kraft ist eine vektorielle Größe und kann durch Angriffspunkt, Wirkungslinie, Richtung und Betrag eindeutig bestimmt werden. Man kann somit Kräfte als Kraft-Vektor darstellen. Die zeichnerische Darstellung erfolgt dabei durch Pfeile in einem Koordinatensystem. Es ist außerdem möglich mehrere Kräfte zu einer einzelnen Resultierenden (Ersatzkraft) zusammenzufassen.
Schreibweise für ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem:
Regeln beim Arbeiten mit Kraftvektoren
Zum Lösen von Kinetik-Aufgaben, ist es wichtig zu wissen welche Regeln beim Arbeiten mit Kraftvektoren gelten. Hier sind die Eigenschaften von Kraftvektoren zusammengefasst, um zu beschreiben wie man mit der Kraft als Vektor umgehen kann.
1. Kräfte bzw. Kraftvektoren dürfen entlang ihrer Wirkungslinien verschoben werden. Die Wirkungslinie ist dabei die Richtung, in der ein Vektor zeigt.
Die Kraft als vektorielle Größe kann entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden
2. Kraftvektoren können addiert und subtrahiert werden. Die direkte Addition und Subtraktion ist jedoch nur erlaubt, wenn die Kräfte auf der gleichen Wirkungslinie liegen.
Addieren (oben) und Subtrahieren (unten) von zwei Kraftvektoren
3. Der Vektor einer Kraft darf in mehrere Komponenten zerlegt werden. Diese Komponenten dürfen dabei verschiedene Richtungen besitzen. Die Zerlegung selbst folgt dabei wiederum bestimmten Regeln. Bei der Zerlegung kommt häufig das sogenannte Kräfteparallelogramm zum Einsatz, um die Kraftvektoren zu berechnen.
Kräfte-Parallelogramm
4. Kraftvektoren können durch vektorielle Addition zusammengesetzt werden. Man verwendet hierfür einen Kräfteplan bzw. das Kräfteparallelogramm. Daraus entsteht, wie in der Grafik unten, aus den Kräften F1 und F2 der resultierende Kraftvektor F.
Die Kraft-Vektoren werden per vektorieller Addition zu einem Vektor vereint
Lageplan und Kräfteplan
Wenn Kräfte als vektorielle Größe dargestellt werden, können diese grafisch in einem Lageplan und einem Kräfteplan abgebildet werden. Der Unterschied zwischen Lageplan und Kräfteplan besteht darin, dass im Lageplan alle geometrischen Größen – also Winkel, Längen etc. - maßstäblich gezeichnet werden müssen. Dies gilt im Kräfteplan lediglich für die Kräfte. Des Weiteren dürfen Kräfte im Kräfteplan in beliebiger Reihenfolge aneinander gesetzt werden.
Lageplan: links; Kräfteplan: rechts
Dies waren die wichtigsten Grundlagen für den Umgang mit der Kraft als vektorieller Größe. Mit den hier beschriebenen Regeln sollten einfache Aufgaben der Dynamik, in denen die Kraft als Vektor dargestellt ist, zu bewältigen sein.
Kraft berechnen – Addition & Subtraktion von Kräften
Wenn mehrere Kräfte auf einen Körper wirken, ist es möglich daraus eine einzelne resultierende Kraft zu berechnen. Die Ermittlung dieser resultierenden Kraft ist sowohl rechnerisch als auch grafisch möglich. In diesem Skript werden beide Verfahren für verschiedene Fälle vorgestellt.
Kräfte in gleicher Richtung berechnen
Wenn mehrere Kräfte in die gleiche Richtung wirken, kann man die Kräfte addieren. Das ist sowohl grafisch mittels der Kraftvektoren möglich, als auch mathematisch – also ganz einfach per Addition.
Beim grafischen Verfahren sollte man immer im Kopf behalten, dass man Kraftvektoren entlang ihrer Wirkungslinien verschieben kann.
Beispiel für die Addition von Kräften:
Kraft 1: F1 = 40 N
Kraft 2: F2 = 10 N
die resultierende Kraft:
FR = F1 + F2 = 40N + 10N = 50N
Kräfte in entgegengesetzter Richtung berechnen
Wenn mehrere Kräfte in entgegengesetzter Richtung wirken, kann man die Kräfte subtrahieren. Das Endergebnis kann dabei auch negativ werden, was soviel aussagt, als dass der resultierende Kraftvektor die entgegengesetzte Richtung einnimmt.
Beispiel für die Subtraktion von Kräften:
Kraft 1: F1 = 20 N
Kraft 2: F2 = 60 N
die resultierende Kraft:
FR = F1 + F2 = 20N - 60N = -40N
Kräfte unter einem Winkel berechnen
Eine kompliziertere Aufgabe ist die Berechnung von Kräften, die in einem Winkel zueinander stehen. Diese Kräfte kann man nicht direkt addieren oder subtrahieren.
Bei der grafischen Lösung der Aufgabe muss man zunächst die Kräfte soweit verschieben, bis sie an einem gemeinsamen Berührungspunkt angreifen (falls dies nicht schon der Fall ist). Im Beispiel unten sind dies die Kräfte F1 und F2. Aus beiden Kräften ermittelt man mit Hilfe des Kräfteparallelogramms eine resultierende Kraft FR.
Bei der rechnerischen Lösung kann man die resultierende Kraft berechnen, indem man den Kosinussatz anwendet. Die Formel zur Berechnung der resultierenden Kraft finden Sie unten. Voraussetzung hierbei ist allerdings, dass der Winkel α gegeben ist oder auf eine Weise rechnerisch zu ermitteln ist.
Tipp zur Addition von mehr als zwei Kräften:
Sollen mehr als nur zwei Kräfte addiert werden, ist dies nicht mehr in einem einzigen Schritt möglich. Man muss hier immer schrittweise zwei Kräfte zusammenfassen. Diesen Vorgang wiederholt man, bis nur noch eine resultierende Kraft übrig bleibt.
Auflösung in x- und y-Komponente
Eine weitere Option zur Berechnung von Kräften unter einem Winkel, ist die Zerlegung in ein x- und eine y-Komponente. Hier werden sämtliche Kräfte in einem Koordinatensystem dargestellt. Der gemeinsame Angriffspunkt ist der Nullpunkt in diesem Koordinatensystem.
Durch die Auflösung in x- und y-Anteil kann man die einzelnen Komponenten der Kräfte addieren bzw. subtrahieren. Durch die Addition bzw. Subtraktion der Einzelkräfte, bleibt je eine Gesamtkraft in beiden Koordinatenrichtungen übrig. Diese bilden eine gemeinsame resultierende Kraft unter einem bestimmten Winkel. Man kann die resultierende Kraft berechnen, indem man einfach den Satz den Pythagoras anwendet. Mehr zu dieser Berechnungsmethode im Statik-Skript zur Berechnung von Kräften.