Die Dehnung von Körpern

Die Dehnung stellt eine Angabe der relativen Längenänderung eines Körpers unter Belastung (Verkürzung oder Verlängerung), etwa durch eine auf den Körper wirkende Kraft oder durch eine Temperaturänderung (Wärmeausdehnung)*. Das Formelzeichnen ist ε. Vergrößern sich die Abmessungen des Körpers, wird dieses positive Dehnung oder Streckung genannt, im Umkehrfall wird von einer negativen Dehnung oder Stauchung gesprochen.

Definition

Dehnung wird folgendermaßen definiert:

l₀ ist die ursprüngliche Länge und ∆l die Längenänderung. Dehnung wird als dimensionslose Zahl oder in Prozent angegeben, dazu muss sie mit 100 multipliziert werden.

Verformung - Dehnung & Querkontraktion unter Zugkraft

Die Dehnung ist - in gewissen Grenzen - in vielen Werkstoffen* proportional zur wirkenden Kraft, das hookesche Gesetz drückt das im linear-elastischen Bereich aus. Als Folge der Querkontraktion ergibt sich eine Dehnung auch quer zur Kraftrichtung, das Verhältnis von Längs- und Querdehnung wird als Poissonzahl bezeichnet.

Scher-, Druck- und Zugkräfte können in einem allgemeinen Szenario auch in Kombination auftreten. Die Folge sind komplexe Dehnungen in die verschiedenen Raumrichtungen, die durch Tensoren der Kraft oder Dehnung vollständig mathematisch beschrieben werden können. Computermodelle für Verformungssimulationen bauen auf diesen Tensoren auf, etwa die Finite-Elements-Methode.

Die technische Dehnung

Folgen zwei oder mehr Krafteinwirkungen aufeinander, werden für die Berechnung der Dehnung in der Regel zwei unterschiedliche Bezugssysteme angewendet. Eine technische Dehnung liegt dann vor, wenn sie auf die Ausgangslänge l₀ angegeben wird, die vor der ersten Krafteinwirkung gilt. Dadurch wird l₀ eine Konstante, was diese Methode besonders einfach macht. Eine andere Bezeichnung für die technische Dehnung ist Cauchy-Dehnung
ε_C.

Die technische Dehnung weist allerdings den Nachteil auf, dass sie nicht skalierbar ist, denn die Gesamtsumme beider Teildehnungen ist nicht mit der Gesamtdehnung übereinstimmend:

ist nicht identisch mit

 .

Solange jedoch ∆l₁ << l₀  gilt näherungsweise:
l₁ ≈ l₀ bzw. ε₂ ≈ ∆l₂/l₀ und damit ε ≈ ε₁ + ε₂ .

Die logarithmische Dehnung

Anders als die technische Dehnung ist die logarithmische, wahre oder auch Hencky-Dehnung auf die aktuelle Körperlänge bezogen, der durch frühere Krafteinwirkungen vorverformt
wurde. Sie wird folgendermaßen definiert:

und damit

Mathematisch gesehen stellt die technische Dehnung eine Reihenentwicklung der Formel für die logarithmische Dehnung in einer Taylorreihe* dar, die nach dem ersten Glied abbricht. Im kleinen Dehnungsbereich besteht daher dieser Zusammenhang zwischen den beiden Definitionen:

ε’ ≈ ε